Durante marzo de 2020, la Organización Mundial de la Salud (OMS) declaró una pandemia mundial debido a la covid-19, lo cual provocó que las instituciones educativas en el mundo tuvieran que migrar del modelo de enseñanza presencial a una instrucción en línea. La mayoría de las instituciones no estaban preparadas para este cambio, por lo que los profesores tuvieron la necesidad de involucrarse en el uso y el manejo de las tecnologías digitales; asimismo, los estudiantes debieron de adaptarse rápidamente a esta nueva modalidad de enseñanza en línea. Esto trajo problemas graves en la educación (Engelbrecht et al., 2020). Este artículo ofrece una contribución en la investigación de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra lineal en un ambiente virtual mediante la orquestación de diversos artefactos o dispositivos digitales, la cual va dirigida a estudiantes universitarios. Desde hace años se ha trabajado en el diseño y la construcción de un software educativo para apoyar la enseñanza de las matemáticas (Cuevas-Vallejo & Mejía, 2003; Orozco-Santiago, 2014; 2020). Debido a esto, fue posible la adaptación a esta nueva enseñanza en corto tiempo, a partir de lo que se presenta la experiencia lograda en un curso de álgebra lineal.

El álgebra lineal es uno de los primeros cursos de matemáticas abstractas que los estudiantes encuentran en los años iniciales en la educación superior (Oktaç y Trigueros, 2010; Stewart, Andrews-Larson, Berman y Zandieh, 2018). El amplio uso de las definiciones rigurosas y la demostración de teoremas y lemas hacen de esta asignatura una de las más formales y abstractas del currículo de matemática en ingeniería y, en consecuencia, una de las materias con el más alto índice de falla y frustración de los estudiantes (Carlson et al., 1993; Dorier, 2000; Orozco-Santiago, 2020).

Se han llevado a cabo investigaciones desde diferentes perspectivas teóricas para estudiar los obstáculos que enfrentan los estudiantes en el proceso de enseñanza-aprendizaje de conceptos del álgebra lineal. Dentro de estas podemos mencionar a Hillel (2000), quien consideró tres niveles de lenguajes de descripción específicos (abstracta, algebraica y geométrica) de los objetos y operaciones básicos; Sierpinska (2000), que señala tres modos de pensamiento: sintético-geométrico, analítico-aritmético y analíticoestructural; Dorier y Sierpinska (2001), quienes distinguen dos fuentes inseparables de las dificultades de los estudiantes en los procesos de aprendizaje y conocimiento: la naturaleza del álgebra lineal (dificultades conceptuales) y el tipo de pensamiento necesario para su comprensión (dificultades cognitivas). Por otra parte, el grupo de estudio del currículo de álgebra lineal (Carlson et al., 1993) recomendó que se alentara a los profesores de matemáticas a utilizar la tecnología en el primer curso de álgebra lineal: “Creemos que el uso de computadoras por parte de los estudiantes para tareas y proyectos puede reforzar los conceptos de las clases, contribuir al descubrimiento de nuevos conceptos y hacer factible la solución de problemas aplicados realistas (p. 45)”. Para situar este trabajo se presentan los antecedentes que informan de los materiales de instrucción para introducir y promover la comprensión de los valores y vectores propios en los estudiantes.

La era digital actual induce cambios drásticos en la manera como los profesores y los estudiantes tienen acceso a la información y construyen conocimiento, en la forma en que se comunican, interactuan y trabajan (Artigue, 2016). La National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) sostiene que “la tecnología es esencial en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; influye en las matemáticas que se enseñan y refuerza el aprendizaje de los estudiantes” (p. 24). En los años ochenta se popularizó el uso de las calculadoras científicas, sin embargo, estas no se diseñaron con fines educativos (su diseño se vio forzado en gran medida por la tecnología disponible) y los objetivos iniciales de sus ventas fueron comerciales y trabajos científicos (Monaghan, Trouche y Borwein, 2016). Los sistemas de álgebra computacional (CAS, del inglés: Computer Algebra System) por sus capacidades gráficas, simbólicas y numéricas han sido más explotadas en cálculo diferencial e integral que en álgebra lineal.

El álgebra lineal es una de las materias más abstractas y formales en la enseñanza superior y, por lo tanto, resulta difícil cognitiva y conceptualmente (Dorier y Sierpinska, 2001). Además, cuenta con pocos recursos para su enseñanza en línea. En Khan Academy, Coursera y MéxicoX existen cursos de álgebra lineal, que por sus cualidades no consideran su parte formal. Ambas situaciones dificultan su adaptación a una enseñanza en línea.

Uno de los temas obligados que contiene el currículo escolar en un primer curso de álgebra lineal son los valores y vectores propios, tema que se enseña al final del curso y donde se utilizan la mayoría de los conceptos previos. Debido a esto, la enseñanza-aprendizaje de estos conceptos ha presentado problemas en su adquisición por parte de los estudiantes. Algunos investigadores han intentado facilitar su aprendizaje mediante el uso de tecnologías digitales. Klasa (2010) utilizó dos entornos computacionales, Maple V y Cabri II, para estudiar los conceptos: transformación lineal, valores y vectores propios, formas cuadráticas, cónicas con cambios de bases y valores singulares. Klasa proporciona un applet en el entorno Maple a los estudiantes, quienes ejecutan una animación de un vector unitario υ que gira sobre un círculo unitario junto con su imagen T(v). La autora les pide que observen en qué momento −si existe− v y T(v) son colineales. Este mismo escenario desarrollado en Cabri proporcionó a los estudiantes interacción al manipular el movimiento del vector v. Posteriormente, con algunas herramientas de Cabri, se midieron las normas de v y T(v) y, finalmente, encontraron la relación ||T(v)||/||v|| que proporciona el valor propio asociado. Klasa (2010) señala que Cabri facilita la comprensión geométrica y Maple apoya al realizar las operaciones matriciales y algebraicas-simbólicas computacionalmente.

Con estas experiencias, la investigadora afirma que la visualización y la manipulación mejoran y facilitan el aprendizaje del álgebra lineal; además, agrega que los estudiantes que trabajan en equipos alrededor de computadoras −o incluso calculadoras gráficas− guiados por el docente, se convierten a menudo en expertos de la disciplina que experimentan. En el mismo sentido, Gol Tabaghi (2014) estudió el cambio de las representaciones geométricas dinámicas en el pensamiento de los estudiantes mediante el uso de diferentes modalidades de arrastres en un entorno de geometría dinámica (The Geometer Sketchpad).

Gol Tabaghi (2014) realiza un análisis con tres estudiantes universitarios mediante entrevistas clínicas individuales basadas en tareas sobre el tema, de valores y vectores propios, que los estudiantes habían abordado previamente. Esta matemática diseñó varios bocetos para observar la geometría de los valores y vectores propios reales de una matriz de 2×2, que al arrastrar el vector x → sobre la pantalla, el vector A x → se movía en consecuencia, lo que atrajo la atención de los estudiantes para analizar con mayor detalle la relación entre x → y A x → y, a la vez, realizar una coordinación entre la representación geométrica en el boceto con la definición algebraica.

Apoyado en los tres modos de pensamiento de Sierpinska (2000), Gol Tabaghi (2014) concluye que las representaciones geométricas dinámicas permitieron a los estudiantes comprender los conceptos de vector y valor propio al identificar sus propiedades geométricas invariables y desarrollar el pensamiento dinámico sintético-geométrico; sin embargo, añadir la tecnología a un curso no necesariamente puede provocar un cambio educativo positivo (Drijvers et al., 2016; Hegedus et al., 2017).

Inicialmente la integración de la tecnología consistía en entregarla a los estudiantes o profesores y explicarles cómo utilizarla. Esta ingenua posición se tenía en cursos de cálculo diferencial e integral que utilizaban el programa Derive, o en cursos de estadística en donde se empleaba la hoja de cálculo. Incluso en los años ochenta se pensaba que para enseñar geometría bastaba introducir o mostrar las operaciones básicas de la tortuga en Logo. Al no obtener los resultados deseados, fue necesario analizar de qué manera las diversas propuestas tecnológicas podrían ayudar en la enseñanza-aprendizaje de la matemática (Pantoja, 1997; Guin y Trouche, 2002).

De esta forma surgen propuestas como el enfoque instrumental, que introduce una distinción entre un artefacto disponible (computadora portátil, calculadora, tableta o teléfono inteligente) para un aprendiz al realizar una actividad (proceso de instrumentación) y la conversión a un instrumento durante el curso de una actividad realizada por él (proceso de instrumentalización). Este enfoque se ha integrado en la didáctica de las matemáticas (Rabardel, 1995; Artigue, 2002). Trouche (2004) introduce el término orquestación instrumental como una necesidad para que el profesor organice las interacciones entre los estudiantes y los instrumentos con intenciones didácticas particulares; presenta dos niveles: una configuración didáctica (arreglo de estudiantes y los artefactos disponibles en el entorno) y los modos de explotación de estas configuraciones.

La configuración estudiante-sherpa (un estudiante cuya computadora o calculadora se proyecta en la clase) fue durante varios años una configuración didáctica emblemática. Para una configuración determinada, existen diversas formas de funcionamiento posibles. Drijvers et al. (2010) consideran: “[En] la metáfora musical de la orquestación, el escenario de la configuración didáctica se puede comparar con la elección de instrumentos musicales que se incluirán en la orquesta y su disposición en el espacio de manera que los diferentes sonidos produzcan la armonía más hermosa (p. 3)”. Una orquestación instrumental está parcialmente preparada de antemano y parcialmente creada “sobre el terreno” durante la enseñanza, por lo que Drijvers et al. (2010) agregan a las configuraciones y modos de explotación un tercer nivel denominado rendimiento didáctico, el cual

En relación con la metáfora musical, Drijvers et al. (2010) sugieren pensar en el modelo tripleta como una banda de jazz, compuesta por músicos principiantes y avanzados (estudiantes), así como el profesor, líder de la banda, quien preparó una participación conjunta, pero está abierto a la improvisación e interpretación de los estudiantes, además de hacer justicia a entradas a diferentes niveles. Esta afirmación se volvió realidad en la presente experiencia debido a que no había antecedentes sobre una enseñanza en línea en álgebra lineal, por lo que se tuvo que “improvisar”¹ formas y métodos de enseñanza. Drijvers et al. (2010) extendieron el repertorio de orquestaciones instrumentales, e identificaron seis tipos para la enseñanza de clase completa:

Demostración-técnica. El profesor demuestra los aspectos técnicos para utilizar la herramienta. Una configuración didáctica para esta orquestación es un arreglo en el aula de manera que permita a los estudiantes ver la pantalla proyectada y seguir la demostración.

Estas orquestaciones no están aisladas, en las primeras tres el profesor dirige la comunicación, mientras que en las últimas tres el profesor les da más espacio a los estudiantes. En 2012, Drijvers et al. agregaron una séptima orquestación: circula-mientras-trabajan, donde los estudiantes trabajan en la computadora solos o en parejas, mientras el profesor circula entre los escritorios monitoreando su progreso y apoyándolos en puntos técnicos o matemáticos. En 2013, Drijvers et al. refinaron la séptima orquestación e identificaron cuatro tipos adicionales, además de clasificarlas en dos amplias categorías: orquestaciones de clase completa y orquestaciones individuales o de parejas.

Guía-y-explica. Es una orquestación intermedia entre explica-la-pantalla y discute-la-pantalla. Una configuración didáctica para esta es un arreglo en el aula de manera que: 1) permita al profesor acceder al trabajo de los estudiantes, 2) los estudiantes puedan ver la pantalla proyectada, lo escrito en la pizarra y seguir la demostración, y 3) permita al profesor realizar preguntas −a menudo cerradas− a los estudiantes.

Información-sobre-la-pizarra. Representa al profesor enseñando y escribiendo frente a la pizarra sin soporte tecnológico.

Demostración-técnica, guía-y-explica, enlaza-pantalla-papel, discute-la-pantalla y apoyo-técnico. Son orquestaciones en las que los estudiantes trabajan individualmente o en parejas frente a su dispositivo tecnológico. Tienen en común la configuración didáctica, aunque difieren en sus modos de explotación.

Demostrar-técnica. El profesor realiza la demostración de las técnicas de forma individual evita exponer al estudiante a dificultades debido a su inexperiencia con el entorno digital.

Guía-y-explica. El profesor interactúa con un estudiante o con una pareja para explicar o informar aspectos matemáticos o tecnológicos, basado en lo que se muestra en la pantalla.

Enlaza-la-pantalla-y-el-papel. El profesor vincula lo que se muestra en la pantalla con lo que se muestra en libros y enlaza las matemáticas de forma convencional con lápiz y papel.

Discute-la-pantalla. El profesor realiza la discusión con un alumno o con una pareja, basado en lo que se muestra en la pantalla.

Apoyo-técnico. El profesor apoya al estudiante con problemas técnicos, como dificultades de conexión, errores de software o de hardware.

En la actualidad, en casi toda actividad didáctica participan diversos actores, como los software, las calculadoras, las guías, los libros, el profesor, el estudiante y el proyector. Es necesario establecer la organización y la administración de los diversos artefactos o instrumentos que intervienen para realizar una determinada actividad matemática, así como el rol del profesor, el cual mantiene su importancia. De esta forma, se considera pertinente plantear la pregunta de investigación: ¿qué orquestaciones instrumentales podría elegir un profesor universitario cuando usa la tecnología en la enseñanza en línea de valor y vector propio?

El experimento de enseñanza se llevó a cabo con un grupo conformado por 24 estudiantes de segundo año de ingeniería en una universidad pública mexicana. Debido a la pandemia, solo diez estudiantes completaron el curso; fueron cinco sesiones con duración de hora y media cada una; uno de los autores fue el profesor titular del curso. Si bien los estudiantes tenían computadoras portátiles o dispositivos móviles (teléfonos inteligentes y tabletas), las condiciones físicas necesarias para las clases en línea no eran del todo satisfactorias. Se presentaron problemas como conexiones a internet bastante débiles, ruidos tanto en el hogar como fuera de este, estrés; una configuración de esto se presenta en la figura 1. La experiencia se desarrolló mediante videoconferencias sincrónicas en la plataforma Zoom, en el mismo horario que en las clases presenciales. La mayoría de los estudiantes optaron por no utilizar sus cámaras y micrófonos durante las conferencias impartidas por el investigador, debido a que se requería un mayor ancho de banda para hacerlo, y muchos no tenían este acceso. Durante todo el curso existieron las siguientes formas de comunicación: a) correo electrónico, b) mensajería instantánea (WhatsApp, propuesto por los estudiantes), c) servicio de almacenamiento en la nube (Google Drive), y d) los archivos a utilizar en cada sesión se subían a la nube minutos antes de la clase.

Figura 1 Fuente: elaboración propia.

Las orquestaciones instrumentales reportadas por Trouche (2004) y Drijvers et al. (2010) y (2013) se han desarrollado para clases presenciales en las que el profesor y los estudiantes están ubicados en un aula, cara a cara. Por las circunstancias de pandemia, esta experiencia de enseñanza se desarrolló en línea de forma sincrónica, lo que permite utilizar algunas orquestaciones e improvisar otras.

En esta experiencia no se pueden aplicar varias de las orquestaciones sugeridas; por ejemplo, circula-mientras-trabajan, debido a que el profesor no podía observar el trabajo en tiempo real de cada uno de los estudiantes de esta forma (caminar entre las computadoras) y ver qué estaban realizando. Para sobrellevar esta situación hubo dos opciones: 1) solicitar al estudiante acceso remoto a su computadora o 2) que el estudiante comparta su pantalla, lo que generó que se desarrollara mayormente la orquestación discute-la-pantalla.

En las figuras 2a y 2b se muestra una configuración utilizada en la clase: en la figura 2a se muestra el PowerPoint abierto y la herramienta Anotación de Zoom, y en la figura 2b el escenario didáctico virtual interactivo (EDVI) y la herramienta Anotación de Zoom habilitada para escribir en la pantalla; como se puede observar, es análogo a la pizarra usual de un aula.

Figura 2 Fuente: elaboración propia

Una configuración didáctica para esta orquestación instrumental demostración-técnica es compartir la pantalla de la videoconferencia por parte del profesor, lo cual permite a los estudiantes seguir la demostración, semejante a un aula. Como modo de explotación, el profesor muestra a toda la clase cada nuevo comando y la funcionalidad del comando en el artefacto.

Para esta experiencia se ha modificado la orquestación instrumental demostración-técnica a lo que se denomina demostración-técnica-Online, que se refiere a la demostración de técnicas para el uso de un artefacto por parte del profesor, apoyado por un estudiante-sherpa. La configuración didáctica para esta orquestación es compartir la pantalla de la videoconferencia sincrónica por parte del docente, y después la intervención de un estudiante-sherpa (bajo el criterio de trabajar en una computadora y tener una buena conexión a internet), que reafirme la explicación del profesor. Como modo de explotación, el profesor y el estudiante-sherpa muestran a toda la clase cada nuevo comando y la funcionalidad de estos en el artefacto. El examen diagnóstico y la tarea construcción de un cuadrilátero son actividades para lograr determinada instrumentación con el entorno. Se presentan los hallazgos de los distintos tipos de orquestaciones instrumentales que se observaron en la experiencia, la conexión que realizan los estudiantes con las propiedades geométricas del vector u → en R 2 con su transformación lineal (matriz) y la relación matemática entre los vectores A u → y λ u → -valor y vector propio.

Actualmente, al hablar sobre temas relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, incuestionablemente se incluyen las herramientas tecnológicas. Estas no pueden pensarse como artefactos que se utilizan libremente, pero su implementación en el aula ha evidenciado que los estudiantes requieren de un proceso de apropiación de estas herramientas. Esta es la gran aportación del enfoque instrumental, apoyar a los profesores de matemáticas en sus esfuerzos por integrar la tecnología en su práctica docente, aunque aún es un desafío para la comunidad de educación matemática.

La pregunta de investigación: ¿qué orquestaciones instrumentales podría elegir un profesor universitario cuando usa la tecnología en la enseñanza en línea de valor y vector propio? enmarcó el presente estudio. Se examinó la práctica docente de un profesor universitario con estudiantes de ingeniería durante el inicio de la pandemia provocada por la covid-19 mediante una enseñanza en línea a través del marco teórico de la orquestación instrumental. En 2004 se presentó a la comunidad de matemática educativa la metáfora orquestación instrumental para reflexionar sobre la integración de los artefactos en sus enseñanzas y organización; sin embargo, a medida que la tecnología cambia, los tipos de orquestaciones instrumentales -previamente identificados- deben ser reexaminados con la posibilidad de ser modificados o ampliados.

Esta investigación propone a la comunidad la posibilidad de ampliar las orquestaciones instrumentales previamente definidas con demostración-técnica-Online, para una enseñanza en línea; es decir, mediante el uso de un software dinámico, la creación de EDVI y las hojas de exploración guiadas se proporcionan evidencias para realizar situaciones de enseñanza-aprendizaje conceptos matemáticos, como valores y vectores propios, que pueden ser utilizadas en el tiempo estimado por el programa de estudio y reproducible en cualquier situación semejante.

Las orquestaciones presentadas en este artículo se originaron debido a que los estudiantes subían las videograbaciones de sus trabajos y el profesor tenía oportunidad de acceder y realizar orquestaciones a partir de estos trabajos. Este estudio abona a un camino largo por recorrer. Esta aportación, hasta hoy, no es concluyente, pues faltaría mayor experimentación; sin embargo, resulta alentadora para continuar estrategias de este tipo en la enseñanza, la cual podrá ser cubierta con nuevas contribuciones del medio de la investigación y docencia. Esta propuesta no pretende competir con la enseñanza presencial ni sustituirla, pero sí aportar elementos a una enseñanza en línea, ya demandada antes de la pandemia actual.

Las circunstancias adversas de una pandemia mundial, y de la crisis económica, social y emocional, afectó al alumnado; durante las sesiones del curso algunos estudiantes contrajeron la covid-19 y otros sufrieron el deceso de familiares. A pesar de ello, el trabajo se llevó a cabo con éxito, por lo que consideramos que nuestras actividades en situaciones normales tendrán el logro deseado. Creemos que nuestro trabajo aporta una nueva forma de orquestación y explotación que nuestros colegas profesores podrán utilizar, ampliar o modificar y aplicar a otros conceptos matemáticos.